Pengertian dan Penyelesaian Persamaan Linear

1. Pengertian Persamaan Linear

Persamaan linear adalah persamaan yang melibatkan variabel dengan pangkat tertinggi satu dan digambarkan sebagai garis lurus ketika dipetakan pada grafik. Bentuk umum persamaan linear dalam satu variabel adalah \( ax + b = 0 \), di mana \( a \) dan \( b \) adalah konstanta.

2. Penyelesaian Persamaan Linear

Penyelesaian persamaan linear adalah proses mencari nilai variabel yang membuat persamaan tersebut benar. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear, yaitu substitusi, eliminasi, dan gabungan substitusi dan eliminasi.

a. Substitusi

Metode substitusi adalah metode di mana salah satu variabel dalam sistem persamaan diganti dengan ekspresi yang setara dari persamaan lainnya.

Langkah-langkah:

• Pilih salah satu persamaan dan isolasi salah satu variabel.
• Substitusikan ekspresi tersebut ke persamaan lainnya.
• Selesaikan persamaan yang dihasilkan.
• Substitusikan nilai variabel yang ditemukan ke persamaan asli untuk menemukan nilai variabel lainnya.

Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut:
\( x + y = 5 \)
\( 2x - y = 1 \)

Pertama, isolasi \( y \) dari persamaan pertama:
\( y = 5 - x \)

Substitusikan \( y \) ke persamaan kedua:
\( 2x - (5 - x) = 1 \)
\( 2x - 5 + x = 1 \)
\( 3x - 5 = 1 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = 2 \)

Substitusikan \( x = 2 \) ke \( y = 5 - x \):
\( y = 5 - 2 \)
\( y = 3 \)

Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah \( x = 2 \) dan \( y = 3 \).

b. Eliminasi

Metode eliminasi adalah metode di mana kita mengeliminasi salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan dua persamaan.

Langkah-langkah:

• Kali salah satu atau kedua persamaan agar koefisien salah satu variabel sama.
• Jumlahkan atau kurangkan persamaan untuk mengeliminasi salah satu variabel.
• Selesaikan persamaan yang dihasilkan.
• Substitusikan nilai variabel yang ditemukan ke salah satu persamaan asli untuk menemukan nilai variabel lainnya.

Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut:
\( x + y = 5 \)
\( 2x - y = 1 \)

Jumlahkan kedua persamaan:
\( (x + y) + (2x - y) = 5 + 1 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = 2 \)

Substitusikan \( x = 2 \) ke \( x + y = 5 \):
\( 2 + y = 5 \)
\( y = 3 \)

Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah \( x = 2 \) dan \( y = 3 \).

c. Gabungan Substitusi dan Eliminasi

Metode gabungan substitusi dan eliminasi adalah metode di mana kita menggunakan kedua metode tersebut untuk menyelesaikan sistem persamaan yang lebih kompleks.

Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut:
\( x + 2y = 8 \)
\( 3x - y = 1 \)
\( 2x + y = 5 \)

Langkah pertama adalah menggunakan metode eliminasi untuk mengeliminasi salah satu variabel dari dua persamaan:
Kali persamaan kedua dengan 2: \( 2(3x - y) = 2(1) \)
\( 6x - 2y = 2 \)
\( x + 2y = 8 \) (dari persamaan pertama)
Jumlahkan kedua persamaan: \( (6x - 2y) + (x + 2y) = 2 + 8 \)
\( 7x = 10 \)
\( x = \frac{10}{7} \)

Gunakan substitusi untuk mencari \( y \) dengan substitusi \( x \) ke salah satu persamaan:
\( 3(\frac{10}{7}) - y = 1 \)
\( \frac{30}{7} - y = 1 \)
\( - y = 1 - \frac{30}{7} \)
\( y = \frac{23}{7} \)

3. Penyelesaian Masalah dengan Persamaan Linear

a. Masalah Penjualan

Contoh:

Seorang pedagang memiliki dua jenis apel, yaitu apel merah dan apel hijau. Harga 3 apel merah dan 5 apel hijau adalah Rp 20.000. Harga 2 apel merah dan 4 apel hijau adalah Rp 14.000. Berapakah harga satu apel merah dan satu apel hijau?

Penyelesaian:

Misalkan harga satu apel merah adalah \( x \) dan harga satu apel hijau adalah \( y \).
Buat dua persamaan berdasarkan informasi yang diberikan:
Persamaan pertama: \( 3x + 5y = 20.000 \)
Persamaan kedua: \( 2x + 4y = 14.000 \)
Eliminasi: Kali persamaan kedua dengan 1.5:
\( 3x + 6y = 21.000 \)
Kurangi persamaan ini dari persamaan pertama:
\( (3x + 5y) - (3x + 6y) = 20.000 - 21.000 \)
\( -y = -1.000 \)
Substitusi: Substitusikan \( y = 1.000 \) ke dalam persamaan pertama:
\( 3x + 5(1.000) = 20.000 \)
\( 3x + 5(1.000) = 20.000 \)
\( 3x + 5.000 = 20.000 \)
\( 3x = 15.000 \)
\( x = 5.000 \)
Jadi, harga satu apel merah adalah Rp 5.000 dan harga satu apel hijau adalah Rp 1.000.

b. Masalah Perjalanan

Contoh: Sebuah kereta berjalan dengan kecepatan 60 km/jam dan sebuah mobil berjalan dengan kecepatan 80 km/jam. Jika mobil mulai berjalan 1 jam lebih lambat dari kereta, pada jarak berapa mereka akan bertemu?

Penyelesaian:

Misalkan jarak yang ditempuh kereta adalah \( x \) km.
Karena kereta berjalan selama \( t \) jam, maka \( x = 60t \).
Mobil berjalan selama \( t - 1 \) jam, maka \( x = 80(t - 1) \).
Setarakan kedua persamaan:
\( 60t = 80(t - 1) \)
\( 60t = 80t - 80 \)
\( -20t = -80 \)
\( t = 4 \) jam
Jarak yang ditempuh kereta saat mereka bertemu adalah \( x = 60t = 60(4) = 240 \) km.

Kesimpulan

Persamaan linear adalah alat yang sangat berguna dalam matematika untuk memodelkan dan menyelesaikan berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari. Dengan memahami metode substitusi, eliminasi, dan gabungan keduanya, serta mampu mengaplikasikannya dalam masalah nyata, kita dapat menemukan solusi dengan efisien dan efektif.