PDF dan CDF dari Distribusi Normal
5 Juli 2024
1. Fungsi Kepadatan Peluang (PDF) dari Distribusi Normal
Fungsi Kepadatan Peluang (Probability Density Function, PDF) adalah fungsi yang menggambarkan kemungkinan relatif dari variabel acak kontinu untuk mengambil nilai tertentu. PDF menyediakan cara untuk memodelkan distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu.
Fungsi Kepadatan Peluang (Probability Density Function, PDF) untuk distribusi normal dinyatakan dengan rumus:
\[ f(x|\mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]
Di mana:
- \( x \) : Variabel acak
- \( \mu \) : Mean (rata-rata)
- \( \sigma \) : Standar deviasi
- \( \pi \) : Konstanta Pi (sekitar 3.14159)
- \( e \) : Basis dari logaritma natural (sekitar 2.71828)
2. Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF) dari Distribusi Normal
Fungsi Distribusi Kumulatif (Cumulative Distribution Function, CDF) adalah fungsi yang menggambarkan kemungkinan bahwa variabel acak akan mengambil nilai kurang dari atau sama dengan nilai tertentu. CDF adalah integral dari PDF.
Fungsi Distribusi Kumulatif (Cumulative Distribution Function, CDF) untuk distribusi normal adalah integral dari PDF dari minus tak terhingga hingga \( x \):
\[ F(x|\mu, \sigma) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2}} \, dt \]
CDF dari distribusi normal tidak memiliki bentuk tertutup yang sederhana dan biasanya dihitung menggunakan tabel atau fungsi khusus dalam perangkat lunak statistik.
3. Contoh Soal Distribusi Normal
Soal 1: Menghitung PDF
Misalkan \( X \) adalah variabel acak yang berdistribusi normal dengan mean \( \mu = 0 \) dan standar deviasi \( \sigma = 1 \). Hitunglah nilai PDF untuk \( x = 2 \).
Langkah-langkah Penyelesaian:
1. Tulis Rumus PDF:
\[ f(x|\mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]
2. Substitusi Nilai yang Diketahui:
- Mean \( \mu = 0 \)
- Standar deviasi \( \sigma = 1 \)
- Nilai \( x = 2 \)
\[ f(2|0, 1) = \frac{1}{1 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(2 - 0)^2}{2(1)^2}} \]
3. Hitung Eksponen:
- Hitung kuadrat dari (x - μ): \((2 - 0)^2 = 4\)
- Bagikan dengan \(2\sigma^2\): \(\frac{4}{2 \cdot 1^2} = 2\)
\[ f(2|0, 1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-2} \]
4. Selesaikan Persamaan:
- Hitung \(\sqrt{2\pi}\): \(\sqrt{6.28318} \approx 2.50662\)
- Hitung \( e^{-2} \): \( e^{-2} \approx 0.13534 \)
\[ f(2|0, 1) \approx \frac{1}{2.50662} \cdot 0.13534 \]
\[ f(2|0, 1) \approx 0.05399 \]
Jadi, nilai PDF untuk \( x = 2 \) adalah sekitar 0.05399.
Soal 2: Menghitung CDF
Misalkan \( X \) adalah variabel acak yang berdistribusi normal dengan mean \( \mu = 50 \) dan standar deviasi \( \sigma = 10 \). Hitunglah probabilitas bahwa \( X \) kurang dari 60, yaitu \( P(X < 60) \).
Langkah-langkah Penyelesaian:
1. Standarisasi Variabel X:
- Gunakan rumus z-score: \( Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \)
- Substitusi nilai: \( \mu = 50 \), \( \sigma = 10 \), dan \( X = 60 \)
\[ Z = \frac{60 - 50}{10} \]
\[ Z = 1 \]
2. Cari Probabilitas dari Z:
- Gunakan tabel distribusi normal standar atau perangkat lunak statistik untuk menemukan \( P(Z < 1) \)
- Berdasarkan tabel distribusi normal standar, kita temukan bahwa:
\[ P(Z < 1) \approx 0.8413 \]
Jadi, \( P(X < 60) \approx 0.8413 \).
Soal 3: Menghitung Nilai Kritis
Misalkan kita ingin menemukan nilai \( k \) sedemikian rupa sehingga \( P(X \leq k) = 0.95 \) untuk \( X \) yang berdistribusi normal dengan \( \mu = 100 \) dan \( \sigma = 15 \).
Langkah-langkah Penyelesaian:
1. Cari Nilai z dalam Distribusi Normal Standar:
- Berdasarkan tabel distribusi normal standar untuk \( P(Z \leq z) = 0.95 \):
\[ z \approx 1.645 \]
2. Transformasi Nilai z ke Skala X:
- Gunakan rumus: \( k = \mu + z \sigma \)
- Substitusi nilai: \( \mu = 100 \), \( \sigma = 15 \), dan \( z = 1.645 \)
\[ k = 100 + 1.645 \times 15 \]
\[ k \approx 100 + 24.675 \]
\[ k \approx 124.675 \]
Jadi, nilai \( k \) adalah sekitar 124.675.
Kesimpulan
Distribusi normal merupakan fondasi penting dalam statistik yang digunakan untuk menggambarkan fenomena alamiah dan berbagai proses acak. Memahami PDF dan CDF dari distribusi normal membantu dalam analisis data dan pengambilan keputusan berdasarkan probabilitas.