Pengertian Bilangan Bulat dan Pecahan

1. Definisi Bilangan Bulat

Bilangan Bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai: ℤ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }. Di dalam bilangan bulat termuat bilangan-bilangan sebagai berikut.

• Bilangan Cacah: Bilangan yang dimulai dari angka 0. Yaitu bilangan 0,1,2,3,4,5,...

• Bilangan Asli: Bilangan yang dimulai dari angka 1. Yaitu bilangan 1,2,3,4,5,...

• Bilangan Genap: Semua bilangan asli yang habis dibagi 2. Yaitu bilangan 2,4,6,8,10,...

• Bilangan Ganjil: Semua bilangan asli yang tidak habis dibagi 2 (Selain bilangan genap). Yaitu bilangan 1,3,5,7,9,...

• Bilangan Prima: Semua bilangan asli yang hanya habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan bilangan satu. Yaitu bilangan 2,3,5,7,11,...

2. Sifat-Sifat Bilangan Bulat

• Identitas Penjumlahan: Setiap bilangan bulat jika dijumlahkan dengan nol hasilnya tetap bilangan itu sendiri.

  \(a + 0 = a \)

• Identitas Perkalian: Setiap bilangan bulat jika dikalikan dengan satu hasilnya tetap bilangan itu sendiri.

  \(a \times 1 = a \)

• Invers Penjumlahan: bilangan bulat memiliki bilangan lawan yang jika dijumlahkan hasilnya nol.

  \(a + (-a) = 0 \)

• Invers Perkalian: Setiap bilangan bulat, kecuali nol, memiliki kebalikan yang jika dikalikan hasilnya satu.

  \(a \times \frac {1}{a} = 1 \) (untuk a \( \neq 0 \))

3. Operasi Dasar pada Bilangan Bulat

a. Penjumlahan Bilangan Bulat

• Jika kedua bilangan berpenanda sama, jumlahkan nilai absolutnya dan berikan penanda yang sama.

  \( (+a) + (+b) = +(a+b) \)

  \( (-a) + (-b) = -(a+b) \)

• Jika kedua bilangan berpenanda berbeda, kurangi nilai absolut yang lebih kecil dari nilai absolut yang lebih besar dan berikan penanda bilangan yang lebih besar.

  \( (+a) + (-b) = +(a-b) \) jika \(a > b \)

  \( (+a) + (-b) = -(a-b) \) jika \(a < b \)

b. Pengurangan Bilangan Bulat

• Pengurangan bilangan bulat dapat diubah menjadi penjumlahan dengan menambahkan bilangan lawan.

  \( a - b = a + (-b) \)

c. Perkalian Bilangan Bulat

• Jika kedua bilangan berpenanda sama, hasilnya positif.

  \( (+a) \times (+b) = +(a \times b) \)

  \( (-a) \times (-b) = +(a \times b) \)

• Jika kedua bilangan berpenanda berbeda, hasilnya negatif.

  \( (+a) \times (-b) = -(a \times b) \)

  \( (+a) \times (-b) = -(a \times b) \)

d. Pembagian Bilangan Bulat

• Jika kedua bilangan berpenanda sama, hasilnya positif.

  \( (+a) \div (+b) = +(a \div b) \)

  \( (-a) \div (-b) = +(a \div b) \)

• Jika kedua bilangan berpenanda berbeda, hasilnya negatif.

  \( (+a) \div (-b) = -(a \div b) \)

  \( (+a) \div (-b) = -(a \div b) \)

4. Urutan pada Operasi Bilangan Bulat

Urutan tingkatan operasi pada bilangan adalah serangkaian aturan untuk menyelesaikan operasi hitung pada bilangan. Urutan operasi hitung ini disepakati untuk memastikan semua orang mendapatkan hasil yang sama. Urutannya adalah sebagai berikut:

• Kerjakan operasi bilangan yang di dalam kurung.

• Kerjakan operasi bilangan Perpangkatan/Penarikan akar.

• Kerjakan operasi bilangan Perkalian/Pembagian.

• Kerjakan operasi bilangan Penjumlahan/Pengurangan.

5. Bilangan Pecahan

Bentuk umum pecahan adalah \( \frac{a}{b}\) dimana b tidak sama dengan 0. a disebut sebagai pembilang dan b disebut sebagai penyebut.

Jenis-jenis pecahan:

• Pecahan biasa: Pecahan yang terdiri dari pembilang dan penyebut yang dipisahkan oleh garis miring.

  Contoh:

  • \(\frac{1}{2}\)
  • \(\frac{3}{4}\)
  • \(\frac{5}{8}\)

• Pecahan campuran: Pecahan yang terdiri dari bilangan bulat dan pecahan biasa.

  Contoh:

  • \(1\frac{1}{2}\)
  • \(2\frac{3}{4}\)
  • \(3\frac{5}{8}\)

• Pecahan desimal: Pecahan yang ditulis dalam bentuk desimal dengan menggunakan titik desimal.

  Contoh:

  • 0.5
  • 0.75
  • 0.625

• Persen: Pecahan yang menyatakan bagian per seratus dengan menggunakan simbol %.

  Contoh:

  • 50%
  • 75%
  • 62.5%

• Permil: Pecahan yang menyatakan bagian per seribu dengan menggunakan simbol ‰.

  Contoh:

  • 500‰
  • 750‰
  • 625‰

6. Mengubah Pecahan Biasa ke Pecahan Campuran atau Sebaliknya

• Mengubah Pecahan Biasa ke Pecahan Campuran:

  1. Bagilah pembilang dengan penyebut.
  2. Hasil bagi menjadi bilangan bulat, sisa hasil bagi menjadi pembilang baru.
  3. Pecahan campuran terdiri dari bilangan bulat, pembilang baru, dan penyebut asli.

  Contoh: \(\frac{7}{4}\)

  • \(\frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}\)

• Mengubah Pecahan Campuran ke Pecahan Biasa:

  1. Kalikan bilangan bulat dengan penyebut.
  2. Tambahkan hasil kali tersebut dengan pembilang.
  3. Hasil penjumlahan menjadi pembilang baru dengan penyebut tetap sama.

  Contoh: \(2 \frac{3}{4}\)

  • \(2 \frac{3}{4} = \frac{2 \times 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}\)

7. Mengubah Pecahan Biasa ke Persen atau Desimal

• Mengubah Pecahan Biasa ke Persen:

  1. Bagilah pembilang dengan penyebut.
  2. Kemudian kalikan hasil bagi dengan 100.
  3. Tambahkan simbol persen (%) di akhir hasil.

  Contoh: \(\frac{3}{4}\)

  • \(\frac{3}{4} = 0.75 \times 100 = 75\%\)

• Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal:

  1. Bagilah pembilang dengan penyebut.

  Contoh: \(\frac{3}{4}\)

  • \(\frac{3}{4} = 0.75\)

8. Mengubah Bentuk Persen ke Pecahan Biasa atau Sebaliknya

• Mengubah Bentuk Persen ke Pecahan Biasa:

  1. Hilangkan simbol persen (%).
  2. Tuliskan angka tersebut sebagai pembilang dengan penyebut 100.
  3. Sederhanakan pecahan jika memungkinkan.

  Contoh: 75%

  • 75% = \(\frac{75}{100} = \frac{3}{4}\)

• Mengubah Pecahan Biasa ke Persen:

  1. Bagilah pembilang dengan penyebut.
  2. Kemudian kalikan hasil bagi dengan 100.
  3. Tambahkan simbol persen (%) di akhir hasil.

  Contoh: \(\frac{3}{4}\)

  • \(\frac{3}{4} = 0.75 \times 100 = 75\%\)

9. Mengubah Bentuk Permil ke Pecahan Biasa atau Sebaliknya

• Mengubah Bentuk Permil ke Pecahan Biasa:

  1. Hilangkan simbol permil (‰).
  2. Tuliskan angka tersebut sebagai pembilang dengan penyebut 1000.
  3. Sederhanakan pecahan jika memungkinkan.

  Contoh: 625‰

  • 625‰ = \(\frac{625}{1000} = \frac{5}{8}\)

• Mengubah Pecahan Biasa ke Permil:

  1. Bagilah pembilang dengan penyebut.
  2. Kemudian kalikan hasil bagi dengan 1000.
  3. Tambahkan simbol permil (‰) di akhir hasil.

  Contoh: \(\frac{5}{8}\)

  • \(\frac{5}{8} = 0.625 \times 1000 = 625‰\)

Kesimpulan

Bilangan bulat mencakup bilangan positif, negatif, dan nol. Operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian mengikuti aturan-aturan tertentu yang memudahkan kita dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan bilangan bulat.